酸欠少女さユりの「平行線」について~本当に太陽系を抜け出さないといけないのか~

はじめに

まず初めに,初の弾き語りアルバム「め」発売おめでとうございます.

め

買いました,届きました,聞きました,見ました,良かったと一言では言えないですけど良かったです.

売れたいのでなく売りたいのです」という通り,是非是非ガンガン売っていってほしいです.

さて,今回は酸欠少女さユりの「平行線」の歌詞について,数学的に平行線のお話をするだけです.

とりあえず聞いたことのない人は一回聞いてきてください.

結論を先に書いておくと,平行線って地球上で交わるんだよっていうお話です.

今回の内容は僕の持ちネタの1つで,どこかで何かを話すときによくお話をさせていただいております.

平行線とは何か

皆さん平行線はご存知でしょうか?

まあ,知ってますよね.

一応定義を確認しておきましょう. 以下の画像は以前数つくばでお話したときのスライドから持って来ています.

ユークリッドと原論

定義の前に,ユークリッドと原論について紹介させてください.

平行線の定義を最初に決めたのは皆さん数学IAでおなじみ,ユークリッド互除法のユークリッドさんです.エウクレディスとかも呼ばれますね.

彼が書いた原論(Euclid's Elements)に平行線の定義が書いてあります.

しかし,その後歴史的に見てまあ色々あったんですけど,詳細は昔作ったスライドの抜粋が以下にあるので,そっちを参照してください.

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雑な数学史

原論というものは,23個の定義と5つの公準(公理)で始まって,証明が続くスタイルからなっていて,今に続く数学書の原型だとかなんだとか言われているものです.

ユークリッド互除法しかユークリッドのことを知らなかった人は,ユークリッドの偉大さがちょっとわかったかもしれません. で,ちょっと定義を下のスライドで見てみましょう.

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原論の中身
結構小学校とかで,見たことあるものばかりですよね?点とは部分を持たないものである.とか,

全ての定義は英語ですがここにのっています.

そして,公準(公理)が要請されているとして,これを認めなさいと言っています.つまり,定義や他の公準から定理として求められないものを公準(公理)としているのですね.

自然数に関する公理だと,ペアノの公理というものがありますよね.

公理に関して有名なものだと,ラッセルのパラドックスとかありますよね.

平行線の定義

じゃあ平行線の定義を見てみると,

平行線の定義 平行線とは,同一平面上にあって,両方向に限りなく延長しても,いずれの方向においても交わらない直線である.

といっている.

そして第5公準をみてみると,

第5公準 1直線が2直線に交わり同じ側の内角の和を2直角より小さい角のある側において交わること.

といっている.

つまり,この直線\displaystyle m,lが平行で,

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平行

こっちは平行ではないといっている.

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平行でない

平行線は交わる!?

さて,さっきの画像にあげてたようなものを読んで,第5公準長いと思いませんでしたか?

上で説明したように,公準とは,他のものから導き出せないとされていて,認ざるをえないものです.

しかし,この長すぎる第5公準は他の4公準から示せるんじゃないかと2000年ぐらい人類は悩んだそうです.

結果的にどうなったかというと,第5公準を置き換えた人が現れた. ボヤイさんとロバチェフスキーさん.

平行線公理が成り立たないと仮定すると,

“平面”の上にある2本の “直線”は

  • 両方で際限なく離れてしまう.または,
  • 一方で際限なく離れるが,他方では際限なく近づく. という性質を持つことになる.

平行線公理取り除き,別の公理を含んだ5公理からなる体系を作った.

ボヤイとロバチェフスキーが同時期に見つけ出したとか.

それをそれぞれ,球面幾何学と双曲幾何学というそうです.

球面幾何学 直線ℓ外の点Pを通過して、 ℓと交わらない直線は存在しない.
双曲幾何学 直線ℓ外の点Pを通過して、 ℓと交わらない直線は2本存在する.

ついでにユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学 直線ℓ外の点Pを通過して、 ℓと交わらない直線は1本存在する.

具体例を見ていきましょう.

ユークリッド幾何学

皆さんご存知ですよね.どこまでいっても交わらないですね.具体例いらないね.分からない人は小学校やりなおして.はい次.

球面幾何学

正味この記事読む中でこれだけが大事なこと.

皆さんはいま,地球を球として,その球上の緯度何度か知らないけど,北緯n度上にいるわけですよね.これに対して垂直に北へ向かって歩きましょう.同じく,北緯n度上にいる別の人(東経は異なる)も垂直に北へ向かって歩きましょう.今,この二人はある直線(北緯n度)に対してそれぞれ垂直です.つまり,永遠に出会わないはずです.しかし,北極点で出会いますよね.

これが今回言いたいことです.

では問題です.

問題1

ある色のクマが南に10km移動した後,東へ何kmか移動しました. その後北に10km移動したら最初いた場所に戻ってきました. この熊の色は何色でしょうか?

どうですか?分かりますか?あくまで練習問題なので,球面幾何学にちなんだ問題です.

この問題は,G. Polya,ポリヤさんの『いかにして問題をとくか(How to solve it.)』に載っていました. この本は名著なのでぜひ読んでみてください.数学ガールの中でも度々登場しますね.

皆大好き大学受験参考書のFocusの数IIBでCoffee Breakにもかなりのページを割いて載っていました. このCoffee Break,いかにして問題をとくかから持って来ていることを書いてなかったけど,絶対に書いた方が良いと思いました. 引用とか参考とかちゃんと書いていこうな!!

さて,答え合わせです.

答えは白色です.スタート地点が北極だからですね.

双曲幾何学

正直今回の話題のおまけです.

が,この双曲幾何学によって,第5公準ユークリッドのものでなければならない,すなわち,他の4公準から導き出せるものではないという事が示されました.

例を出すと,

双曲幾何学の例

平面においては任意の直線にその直線上にない一点を通る平行線は一本しかないが,無限に開き続ける漏斗のようなものにおいては,任意の直線にその直線上にない一点を通る平行線は無限に存在することになる

というものです.

何のこっちゃイメージが沸かない人は,「ベルトラミーの擬球面」で画像を検索!!

それでも分からなければ,このブログを参照!!

tsujimotter.hatenablog.com

酸欠少女さユりの平行線の歌詞

はい,本題です.多分ここまでで既に半分くらいの方がブラウザバックしてそう.

  • 太陽系を抜け出して平行線で交わろう
  • 私と君の影のように伸びている平行線

これ,色んな意味で突っ込みたいですけど,とりあえず,自分たち二人は平行線上にいて影も平行線に伸びている.交われないから太陽系を抜け出したら交われるんじゃね?と解釈できます.

はい,次.

  • 太陽系を抜け出して平行線で交わろう
  • そんな叶わない望みも

はい,どう読んでも交わりたいのに交われないと書いていますね.

このインタビュー記事を見てみましょう.

<太陽系を抜け出して 平行線で交わろう>というのは不可能なんですけど、それを願うくらいの気持ちを表したかった。相手との想いが交錯しない「平行線」や、自分の願いと現実が上手くいかない「平行線」だったり、悲しい意味で使うこともあるのですが、一方で、「平行線」だからこそ続く関係、それでも繋がっていけるんじゃないかということもあるかなと。そういった“希望”を込めて「平行線」を歌ってます。

やっぱり平行線で交わりたいけど,交われないんだわ~って感じが伝わってきます.

でも!でも!!!地球上でも平行線は交わることはもうお分かりですね??

平行線は地球上でも交わる!そう!球面幾何学ならね!

適当なところで,同じ緯度上に立って,北極か南極かに向かって歩けば,平行なのに交わるという事です。

ということで,歌詞にあるように,太陽系を抜け出したり,この世の理をどうこうしなくても交われます.

嬉しいね.

まあ,歌詞で言ってる交わるっていうのは多分物理的に交わるということではないんでしょうけど......

おわりに

おわりです 数学何も分からんので球面幾何とか双曲幾何の説明間違ってるかもしれん...... 間違ってたら教えてください.

「め」滅茶苦茶良かったので,是非!是非!,皆さんも聞いてみて,是非!買ってくださいね.

お疲れ様でした.