概要

小学生のときに思いついた規則性をずっと後になってから，文字式によって一般化することで証明できたときの僕の感動の話．

小5

公文で累乗の計算を習いました．学校の行き帰りに，

$2^2 = 4$ ， $3^2 = 9$ ， $4^2 = 16$ ， $5^2 = 25$ ，と言った感じで計算しながら歩いていました．そのとき，ふと，連続した二つの数の二乗の差はその二つの数の和に等しいということに気付きました．

$3^2 - 2^2 = 3+2$ ， $4^2 - 3^2 = 4+3$ ， $5^2-4^2 = 5+4$

おっ，なんか面白いなと思ってとても興奮し，このまま $12^2 - 11^2 = 12+11$ とか，もっと大きな数まで暗算しながらその日は家まで帰ったように記憶しています．そして，これはきっとすべての数においてこうなるのだろう．といった感想を抱きました．

それから次の日，実に数学的な発想だと思うのですが，差が一つではなくて二つ，三つ，四つならどうだろうかと考えました．

つまり，

$4^2- 2^2$ です．僕は初め， $4^2- 2^2=4+3+2$ だと思ったのですが，3足りませんでした．次に， $5^2- 2^2=5+4+3+2$ だと思ったのですが，7足りませんでした．ここで，差が2以上のときは，間の数は2回足してあげなければいけないのではないだろうかということに思い至り，実行してみたところ，その通りだった訳です．これは差が1の時のことを考えると実に当たり前な話で， $5^2- 2^2\\=(5^2- 4^2)+(4^2- 3^2)+(3^2- 2^2)\\=(5+4)+(4+3)+(3+2)\\=5+2\times(4+3)+2$

となるからです．

これは，一週間ぐらい経ってから，なんだ当たり前じゃんとなりました．

中一

さて，文字式を習いました．そのときに，この問題というか命題がふと頭をよぎりました．

$(n+1)^2-n^2=(n+1)+n$

わろた，なんであんなに計算して確かめたんやろう． 文字による一般化すげええええええええええ！！ となったときでした．

これでまあ，差が2以上のときも，差をkとして $(n+k)^2-n^2\\=\{(n+k)^2-(n+k-1)^2\}+\{(n+k-1)^2-(n+k-2)^2\}+\dots+\{(n+1)^2-n^2\}\\ =\{(n+k)+(n+k-1)\}+\{(n+k-1)+(n+k-2)\}+\dots+\{(n+1)+n\}$